第 9 章　極限直觀與符號操作¶

本章重點：

  • 從直觀的角度理解「極限」：趨近但不一定到達。
  • 使用數表與圖形觀察函數在某點附近的行為。
  • 用 SymPy 計算基本極限：代入、因式分解、通分、洛必達法則等。
  • 理解左右極限、無窮遠處的極限與垂直／水平漸近線概念。
  • 從極限觀點連結到「連續」的概念，為微分與積分鋪路。

本章不強調嚴格的代數定義，而著重在直觀與實作， 讓你能使用 Python / SymPy 來探索與驗證極限行為。

9.1 極限的直觀：趨近但不一定到達¶

想像函數 $f(x)$ 在 $x=a$ 附近的行為：

  • 當 $x$ 一步步接近 $a$ 時，$f(x)$ 的值是否也接近某個固定數 $L$？
  • 若是，則我們說：$\displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = L$。

重點是：

  • 極限只在乎「附近」，不在乎函數在 $x=a$ 這個點的值為何，甚至可以沒定義。

我們先用數表來觀察一個例子：

$f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1}$，當 $x \to 1$ 時？

這個函數在 $x=1$ 時分母為 0，沒有定義，但在附近卻有值。

In [1]:
def f_numeric(x):
    return (x**2 - 1)/(x - 1)

for x_val in [0.5, 0.9, 0.99, 1.01, 1.1, 1.5]:
    print(f"x = {x_val}, f(x) = {f_numeric(x_val)}")

x = 0.5, f(x) = 1.5
x = 0.9, f(x) = 1.9
x = 0.99, f(x) = 1.990000000000001
x = 1.01, f(x) = 2.009999999999999
x = 1.1, f(x) = 2.1
x = 1.5, f(x) = 2.5

從表中可看到，$f(x)$ 的值似乎接近 2。
實際上，若我們代數化簡：

$\dfrac{x^2-1}{x-1} = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1$（當 $x \ne 1$）。

因此，當 $x \to 1$ 時，$f(x)$ 的極限就是 $1 + 1 = 2$。

9.2 使用 SymPy 計算極限：limit¶

SymPy 提供 limit 函數直接計算極限：

In [2]:
import sympy as sp
sp.init_printing()

x = sp.symbols('x')
expr = (x**2 - 1)/(x - 1)
sp.limit(expr, x, 1)
Out[2]:
$\displaystyle 2$

再試幾個基本例子：

  1. $\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x}$。
  2. $\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2}$。
In [3]:
expr1 = sp.sin(x)/x
expr2 = (1 - sp.cos(x))/x**2

lim1 = sp.limit(expr1, x, 0)
lim2 = sp.limit(expr2, x, 0)
lim1, lim2
Out[3]:
$\displaystyle \left( 1, \ \frac{1}{2}\right)$

9.3 左極限與右極限¶

有些函數在某點附近左右兩側的行為不同，這時要分別考慮：

  • 左極限：$\displaystyle \lim_{x\to a^-} f(x)$。
  • 右極限：$\displaystyle \lim_{x\to a^+} f(x)$。

在 SymPy 中可以使用 Piecewise 來表示：

In [4]:
f_piece = sp.Piecewise((-x, x <= 0), (x, x > 0))
f_piece
Out[4]:
$\displaystyle \begin{cases} - x & \text{for}\: x \leq 0 \\x & \text{otherwise} \end{cases}$

計算在 $x \to 0$ 時的左極限與右極限：

In [5]:
left_lim  = sp.limit(f_piece, x, 0, dir='-')
right_lim = sp.limit(f_piece, x, 0, dir='+')
left_lim, right_lim
Out[5]:
$\displaystyle \left( 0, \ 0\right)$

結果顯示：

  • 左極限為 0。
  • 右極限為 0。

因此整體極限 $\lim_{x\to 0} f(x)$ 存在。

9.4 無窮遠處的極限與漸近線¶

考慮函數在 $x \to \infty$ 或 $x \to -\infty$ 時的行為：

  • 若 $\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x) = L$，則 $y=L$ 是一條水平漸近線。
  • 若 $\displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = \pm\infty$，則 $x=a$ 是一條垂直漸近線。

例 1：$f(x) = \dfrac{1}{x}$。

In [6]:
expr_inf = 1/x
lim_inf_pos = sp.limit(expr_inf, x, sp.oo)   # +∞
lim_inf_neg = sp.limit(expr_inf, x, -sp.oo)  # -∞
lim_to_0    = sp.limit(expr_inf, x, 0)
lim_inf_pos, lim_inf_neg, lim_to_0
Out[6]:
$\displaystyle \left( 0, \ 0, \ \infty\right)$

結果代表：

  • 當 $x \to \infty$ 或 $x \to -\infty$，$1/x \to 0$，因此 $y=0$ 是水平漸近線。
  • 當 $x \to 0$，函數發散（極限為無窮大或無窮小，視左右側而定），$x=0$ 是垂直漸近線。

例 2：$f(x) = \dfrac{2x^2 + 1}{x^2 - 3}$。

當 $x \to \infty$ 時，最高次項主導：大概像 $\dfrac{2x^2}{x^2} = 2$， 所以極限應該是 2。用 SymPy 檢查：

In [7]:
expr_rational = (2*x**2 + 1)/(x**2 - 3)
sp.limit(expr_rational, x, sp.oo)
Out[7]:
$\displaystyle 2$

因此 $y=2$ 是函數的水平漸近線。

9.5 基本極限技巧：代入、因式分解、通分¶

在很多簡單情況下，極限可以靠直接代入得到：

  • 若 $f$ 在 $x=a$ 連續，則 $\displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = f(a)$。

例：$\lim_{x\to 2} (3x+1) = 7$。

但若代入後得到 $0/0$ 形式（未定形），就需要進一步變形：

  • 因式分解後約分。
  • 通分、化簡。

例：$\displaystyle \lim_{x\to 1} \dfrac{x^2-1}{x-1}$，前面已經看過，可以因式分解之後約分，最後代入。

再看一個例子：

$\displaystyle \lim_{x\to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x-2}$。

因式分解：$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$，約分後變成 $x+2$， 代入 $x=2$ 得極限 4。用 SymPy：

In [8]:
expr = (x**2 - 4)/(x - 2)
sp.factor(x**2 - 4), sp.simplify(expr), sp.limit(expr, x, 2)
Out[8]:
$\displaystyle \left( \left(x - 2\right) \left(x + 2\right), \ x + 2, \ 4\right)$

9.6 洛必達法則（概念示意）¶

當極限出現某些「未定形」如 $0/0$ 或 $\infty/\infty$， 在微積分中常使用洛必達法則：

若在某區間內 $f$ 與 $g$ 可微，且在 $x \to a$ 時：

$\lim_{x\to a} f(x) = 0$, $\lim_{x\to a} g(x) = 0$，且 $g'(x) \ne 0$，

在適當條件下，

$\displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$。

SymPy 支援 limit 自動執行類似操作（內部可能使用導數等工具）， 我們這裡先不深究理論，只用來計算一些例子。

例：$\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x}$。前面已經計算過，其實就是 1。

再看例：

$\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2}$。

SymPy 直接計算得到 $1/2$，其背後可用二階導數或泰勒展開解釋。

9.7 極限與連續：符號與圖形¶

我們說函數 $f$ 在點 $x=a$ 連續，若同時滿足：

  1. $f(a)$ 有定義。
  2. $\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)$ 存在。
  3. $\displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = f(a)$。

極限幫助我們精確描述「圖形在某點附近是否有裂縫或跳躍」。

例：考慮

$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \ne 1 \\ 1, & x = 1 \end{cases}$。

在 SymPy 中：

In [9]:
f_piece2 = sp.Piecewise((x**2, x != 1), (1, True))
f_piece2
Out[9]:
$\displaystyle x^{2}$

計算：

  • $f(1)$？
  • $\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)$？
In [10]:
f_at_1 = f_piece2.subs(x, 1)
lim_at_1 = sp.limit(f_piece2, x, 1)
f_at_1, lim_at_1
Out[10]:
$\displaystyle \left( 1, \ 1\right)$

這顯示：

  • $f(1) = 1$。
  • $\lim_{x\to 1} f(x) = 1$。

因此 $f$ 在 $x=1$ 處「連續」（極限與函數值相等）。

9.8 啟發性例子一：速度與瞬間變化率的極限想像¶

考慮物體的位置函數 $s(t)$，平均速度在時間區間 $[t, t+h]$ 上為：

$\displaystyle v_{avg} = \frac{s(t+h) - s(t)}{h}$。

當 $h \to 0$ 時，這個平均速度極限若存在，就稱為「瞬間速度」：

$\displaystyle v(t) = \lim_{h\to 0} \frac{s(t+h) - s(t)}{h}$。

例如 $s(t) = t^2$，我們用 SymPy 模擬這個極限：

In [11]:
t, h = sp.symbols('t h', real=True)
s = t**2
diff_quot = ( (t+h)**2 - t**2 )/h
sp.simplify(diff_quot), sp.limit(diff_quot, h, 0)
Out[11]:
$\displaystyle \left( h + 2 t, \ 2 t\right)$

這裡極限結果是 $2t$，也就是未來微分中會學到的：$\dfrac{d}{dt} t^2 = 2t$。

這個例子展示了：

  • 極限可以用來描述「變化率」在時間間隔縮小到 0 的行為。
  • 微分的核心其實就是一個極限。

9.9 啟發性例子二：數列極限與無窮小¶

極限不只適用於函數，也適用於數列 $a_n$：

若當 $n \to \infty$ 時，$a_n$ 越來越接近某個數 $L$， 則我們說：$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = L$。

例：$a_n = (1/2)^n$。用 Python 觀察：

In [12]:
seq = [ (1/2)**n for n in range(0, 11) ]
for n, val in enumerate(seq):
    print(f"n = {n}, a_n = {val}")

n = 0, a_n = 1.0
n = 1, a_n = 0.5
n = 2, a_n = 0.25
n = 3, a_n = 0.125
n = 4, a_n = 0.0625
n = 5, a_n = 0.03125
n = 6, a_n = 0.015625
n = 7, a_n = 0.0078125
n = 8, a_n = 0.00390625
n = 9, a_n = 0.001953125
n = 10, a_n = 0.0009765625

你會看到 $a_n$ 越來越接近 0，雖然永遠不會真正變成 0。

在微積分中，我們常說這是一個「收斂到 0 的無窮小序列」。 函數極限與數列極限之間，有許多平行的概念。

9.10 啟發性例子三：用極限理解「無窮大的比較」¶

當 $x \to \infty$ 時，$x^2$ 與 $x^3$ 都趨近於無窮大， 但我們可以比較哪一個「長得更快」，方法是考慮它們的比值極限：

$\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{x^3}{x^2} = \lim_{x\to\infty} x = \infty$。

這表示 $x^3$ 成長速度「遠大於」 $x^2$。

再比較 $e^x$ 與任何多項式，例如 $x^{10}$：

考慮 $\displaystyle \lim_{x\to\infty} \dfrac{e^x}{x^{10}}$。

In [13]:
x = sp.symbols('x')
expr_compare = sp.exp(x)/x**10
sp.limit(expr_compare, x, sp.oo)
Out[13]:
$\displaystyle \infty$

結果是 $\infty$，表示指數函數最終會「壓過」任何固定次數的多項式， 這在複雜度分析（演算法成長率比較）與機率分布尾端行為分析中都非常重要。

9.11 本章小結¶

本章你學到了：

  • 極限描述的是函數在某點附近或在無窮遠處的趨近行為，而不一定要求在該點有定義。
  • 使用 Python 做數表、SymPy 的 limit 函數計算各種極限。
  • 左極限與右極限、無窮遠極限與漸近線的觀念。
  • 基本極限技巧：代入、因式分解、通分，與洛必達法則的概念示意。
  • 連續性的三個條件，以及如何用極限判斷是否存在「洞」或「跳躍」。
  • 極限在物理（瞬間速度）、數列收斂及函數成長速度比較中的應用。

9.12 練習題¶

請在本 Notebook 中新增儲存格，試著完成以下練習：

  1. 基本極限計算
    使用 SymPy 計算：
    (a) $\displaystyle \lim_{x\to 2} (3x^2 - x + 1)$
    (b) $\displaystyle \lim_{x\to -1} \dfrac{x^2-1}{x+1}$
    (c) $\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{\sin 3x}{3x}$。

  2. 因式分解與極限
    (a) 手動因式分解 $x^2 - x - 6$ 並約分，計算 $\displaystyle \lim_{x\to 3} \dfrac{x^2 - x - 6}{x-3}$。
    (b) 使用 SymPy 的 factor 與 limit 驗證你的結果。

  3. 左右極限與不連續
    定義函數：
    $f(x) = \begin{cases} 1, & x < 1 \\ 2, & x \ge 1 \end{cases}$
    (a) 使用 Piecewise 表示此函數。
    (b) 計算 $\displaystyle \lim_{x\to 1^-} f(x)$ 與 $\displaystyle \lim_{x\to 1^+} f(x)$。
    (c) 判斷 $\lim_{x\to 1} f(x)$ 是否存在，並說明理由。

  4. 無窮遠極限與漸近線
    考慮 $f(x) = \dfrac{3x-1}{x+2}$。
    (a) 計算 $\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)$。
    (b) 計算 $\displaystyle \lim_{x\to -2} f(x)$（左右極限可額外探討）。
    (c) 根據結果寫出其水平與垂直漸近線方程式，並在可能情況下畫圖確認。

  5. 連續性的判斷
    定義函數：
    $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \ne 2 \\ 5, & x = 2 \end{cases}$
    (a) 求 $\lim_{x\to 2} f(x)$。
    (b) 比較 $f(2)$ 與極限的值，判斷在 $x=2$ 是否連續。
    (c) 若要讓此函數在 $x=2$ 連續，應該把 $f(2)$ 改成多少？

  6. 數列極限
    (a) 使用 Python 產生數列 $a_n = \dfrac{n}{n+1}$ 的前 10 項。
    (b) 觀察數列趨近於哪個值？用 SymPy 計算 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{n}{n+1}$。
    (c) 思考這個數列可以代表什麼現實情境（例如某種比例、效率等等）。

  7. 加分題：速度的極限詮釋
    假設位置函數為 $s(t) = t^3$：
    (a) 寫出平均速度 $\dfrac{s(t+h)-s(t)}{h}$ 的解析式並化簡。
    (b) 使用 SymPy 計算 $\displaystyle \lim_{h\to 0} \dfrac{s(t+h)-s(t)}{h}$。
    (c) 試著用文字說明：為什麼這個極限可以被解讀為「瞬間速度」， 並與日常中的加速、煞車情境連結起來。

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