第 15 章　資料分析：平均數、變異數與標準差

本章重點：

• 理解「平均數」的多種形式：算術平均數、中位數、眾數。
• 了解「變異數」與「標準差」如何量化資料的離散程度。
• 使用 Python / SymPy 計算平均數、變異數與標準差。
• 區分「母體」與「樣本」的變異數與標準差（分母是 $n$ 還是 $n-1$）。
• 用簡單圖形與模擬了解「資料集中」與「資料分散」的差異。
• 透過幾個啟發性例子，把統計量與現實情境（成績、薪資、量測誤差）做連結。

本章不會深談推論統計（信賴區間、假設檢定等）， 而是聚焦在常見的「描述統計量」，讓你能用 Python 快速計算並初步解讀資料。

15.1 資料與數列：從一串數字開始

我們把收集到的觀察值稱為「資料」，例如：

• 一個班級的數學成績：[72, 88, 90, 65, 90, 78, 85]。
• 每天量測的氣溫、股價、心跳次數⋯⋯

統計的第一步，就是先把資料整理成一串數字，然後問：

• 這些數字「大致上」多大？（中心位置）
• 這些數字「大致上」差異多大？（分散程度）

在 Python 中，我們可以用 list 來存一串資料：

scores = [72, 88, 90, 65, 90, 78, 85]
scores

[72, 88, 90, 65, 90, 78, 85]

15.2 算術平均數（mean）

最常見的「平均」是算術平均數：

$$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i,$$

其中 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 是資料，$n$ 是資料筆數。

在 Python 中可以用 sum 與 len。

先用純 Python：

scores = [72, 88, 90, 65, 90, 78, 85]
mean_py = sum(scores)/len(scores)
mean_py

81.14285714285714

再用 SymPy 計算一次，順便感受符號運算的寫法：

import sympy as sp
sp.init_printing()

data = sp.Array(scores)
mean_sym = sp.nsimplify(sum(data)/len(data))
mean_sym

$\displaystyle \frac{568}{7}$

可以利用專門做數值運算的 numpy 套件裡的函數來計算平均數：

import numpy as np
np.mean(scores)

$\displaystyle 81.1428571428571$

15.3 中位數（median）與眾數（mode）

除了算術平均數之外，常見的中心位置指標還有：

• 中位數：將資料由小到大排序後，「正中間」的那個值。
  • 若資料筆數為奇數，直接取中間那個。
  • 若為偶數，取中間兩數的平均。
• 眾數：資料中出現頻率最高的數值（可能不唯一）。

這三種指標在面對「極端值」時的穩定程度不同， 例如薪資、房價常用中位數來描述較具代表性的水平。

scores_sorted = sorted(scores)
scores_sorted

$\displaystyle \left[ 65, \ 72, \ 78, \ 85, \ 88, \ 90, \ 90\right]$

計算中位數與眾數，numpy 和 statistics 套件裡有現成的統計函數：

import numpy as np
import statistics

median_val = np.median(scores)
mode_val = statistics.multimode(scores)

median_val, mode_val

$\displaystyle \left( 85.0, \ \left[ 90\right]\right)$

15.4 變異數與標準差：資料「散不散」

兩組平均一樣的資料，可能有完全不同的分散程度：

• 組 A：[70, 70, 70, 70]（大家分數都差不多）
• 組 B：[40, 60, 80, 100]（差異很大）

為了量化「分散程度」，我們定義：

1. 偏差（deviation）：每個資料減去平均數 $x_i - \bar{x}$。
2. 平方偏差：$(x_i - \bar{x})^2$。
3. 變異數（variance）：平方偏差的平均。

有兩種常見版本：

• 母體變異數：$\displaystyle \sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2$。
• 樣本變異數：$\displaystyle s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$。

母體／樣本的差別涉及統計推論，本章先重點記住：

樣本變異數多用 $n-1$ 做分母，反映「資料有限」時的一種校正。

標準差（standard deviation） 則是變異數開根號：

$$\sigma = \sqrt{\sigma^2}, \quad s = \sqrt{s^2}.$$

好處是單位與原始資料相同，較容易解讀（例如：分數的標準差仍然是「分」）。

15.5 用 Python / SymPy 手工計算變異數與標準差

我們用剛才的成績資料，依照定義一步步算出樣本變異數與樣本標準差。

scores = [72, 88, 90, 65, 90, 78, 85]
n = len(scores)
mean_val = sum(scores)/n

deviations = [x - mean_val for x in scores]
squared_dev = [(x - mean_val)**2 for x in scores]

sample_variance = sum(squared_dev)/(n-1)
sample_std = sample_variance**0.5
mean_val, deviations, squared_dev, sample_variance, sample_std

$\displaystyle \left( 81.1428571428571, \ \left[ -9.14285714285714, \ 6.85714285714286, \ 8.85714285714286, \ -16.1428571428571, \ 8.85714285714286, \ -3.14285714285714, \ 3.85714285714286\right], \ \left[ 83.5918367346938, \ 47.0204081632654, \ 78.4489795918368, \ 260.591836734694, \ 78.4489795918368, \ 9.87755102040814, \ 14.8775510204082\right], \ 95.4761904761905, \ 9.77119186569328\right)$

你可以觀察：

• 有些偏差為正（高於平均）、有些為負（低於平均）。
• 若直接把偏差加總，多半接近 0（正負相抵）。
• 因此我們先平方，再取平均，才得到「分散程度」。

可以用 numpy 中函數來計算變異數和標準差：

population_var1 = np.var(scores, ddof=0)  # 母體變異數
sample_var1 = np.var(scores, ddof=1)  # 樣本變異數

population_std1 = np.std(scores, ddof=0)        # 母體標準差
sample_std1 = np.std(scores, ddof=1) # 樣本標準差

population_var1, sample_var1, population_std1, sample_std1

$\displaystyle \left( 81.8367346938776, \ 95.4761904761905, \ 9.04636582799289, \ 9.77119186569328\right)$

SymPy 也可以幫忙計算，這裡示範用符號方式定義平均與樣本變異數：

data_syms = sp.Array(scores)
n = len(data_syms)
mean_sym = sum(data_syms)/n
sample_var_sym = sum((x - mean_sym)**2 for x in data_syms)/(n-1)
sample_std_sym = sp.sqrt(sample_var_sym)
sp.simplify(mean_sym), sp.simplify(sample_var_sym), sp.nsimplify(sample_std_sym)

$\displaystyle \left( \frac{568}{7}, \ \frac{2005}{21}, \ \frac{\sqrt{42105}}{21}\right)$

用小數表示：

sp.simplify(mean_sym).n(), sp.simplify(sample_var_sym).n(), sp.nsimplify(sample_std_sym).n()

$\displaystyle \left( 81.1428571428571, \ 95.4761904761905, \ 9.77119186569328\right)$

15.6 啟發性例子一：平均一樣，標準差不同

考慮兩組成績：

• A 組：[70, 70, 70, 70]
• B 組：[40, 60, 80, 100]

兩組的平均數都是 70，但明顯 B 組差異較大。

我們用 Python 比較兩組的標準差：

A = [70, 70, 70, 70]
B = [40, 60, 80, 100]

def sample_std(data):
    n = len(data)
    mean_val = sum(data)/n
    return (sum((x - mean_val)**2 for x in data)/(n-1))**0.5

mean_A, std_A = sum(A)/len(A), sample_std(A)
mean_B, std_B = sum(B)/len(B), sample_std(B)
mean_A, std_A, mean_B, std_B

$\displaystyle \left( 70.0, \ 0.0, \ 70.0, \ 25.8198889747161\right)$

結果顯示兩組平均相同，但 B 組標準差遠大於 A 組。

解讀：

• A 組：每個人都差不多 70 分。
• B 組：有人很低分，有人很高分。

標準差是描述「不均勻程度」的好工具。

15.7 啟發性例子二：極端值對平均與中位數的影響

考慮某新創公司五位員工的月薪（單位：萬元）：

• 原本：[35, 36, 37, 38, 40]。
• 公司後來找來一位高薪顧問：月薪 200 萬。

新的薪資資料：[35, 36, 37, 38, 40, 200]。

比較平均與中位數的變化：

salaries = [35, 36, 37, 38, 40]
salaries_extreme = [35, 36, 37, 38, 40, 200]

def mean(data):
    return sum(data)/len(data)

from statistics import median

mean1, median1 = mean(salaries), median(salaries)
mean2, median2 = mean(salaries_extreme), median(salaries_extreme)
mean1, median1, mean2, median2

$\displaystyle \left( 37.2, \ 37, \ 64.3333333333333, \ 37.5\right)$

可以看到：

• 加入極端值後，平均數被拉得很高。
• 中位數變化不大，仍然接近多數人薪資的典型水準。

因此在有極端值的情境（如薪資、房價），中位數常較能代表「典型」的情況。

15.8 啟發性例子三：量測誤差與標準差

假設你用同一支溫度計量測室溫 10 次，得到（單位：°C）：

[25.1, 24.9, 25.0, 25.2, 25.0, 24.8, 25.1, 25.0, 24.9, 25.1]

我們想知道：

• 平均溫度大約多少？
• 測量值大致上會在平均值左右多少範圍內擺盪？（標準差）

temps = [25.1, 24.9, 25.0, 25.2, 25.0, 24.8, 25.1, 25.0, 24.9, 25.1]
mean_temp = sum(temps)/len(temps)
std_temp = sample_std(temps)
mean_temp, std_temp

$\displaystyle \left( 25.01, \ 0.119721899973787\right)$

我們可以粗略說：室溫約為 平均 ± 1 標準差，例如約 $25.0 ± 0.12$ °C， 代表大部分量測值落在這個範圍內。

在實驗科學中，標準差常用來描述測量的不確定性。

15.9 用 Python 簡單畫圖看資料分布（概念示意）

在資料分析中，除了計算數字指標外，「畫圖」非常重要。

在 Jupyter Notebook 裡，你可以使用 matplotlib 畫直方圖（histogram）或散佈圖。 這裡做一個簡單範例，展示溫度資料的直方圖：

import matplotlib.pyplot as plt

temps = [25.1, 24.9, 25.0, 25.2, 25.0, 24.8, 25.1, 25.0, 24.9, 25.1]

plt.hist(temps, bins=5)
plt.xlabel('Temperature (°C)')
plt.ylabel('Frequency')
plt.title('Temperature Measurements Histogram')
plt.show()

你可以嘗試：

• 增加資料筆數（模擬更多測量）。
• 改變 bins 的數量，看看直方圖形狀怎麼改變。

圖形與數值統計量搭配，會讓你對資料的理解更完整。

15.10 樣本 vs 母體：符號觀點

多數現實情況下，我們只拿到母體的一小部分資料（樣本）， 卻想了解整個母體的真正平均與變異數。

因此：

• $\bar{x}$（樣本平均）用來估計母體平均 $\mu$。
• $s^2$（樣本變異數，分母 $n-1$）用來估計母體變異數 $\sigma^2$。

這些估計量的性質（是否偏差、變異大小）屬於「推論統計」範疇， 在本章只作觀念上的提醒：

在用統計軟體時，要留意「變異數」與「標準差」究竟是用 $n$ 還是 $n-1$。

15.11 本章小結

本章你學到了：

• 如何用 Python / SymPy 計算算術平均數、中位數與眾數。
• 變異數與標準差的定義，並用程式實作樣本變異數與樣本標準差。
• 「平均相同但標準差不同」的資料，在解讀上有很大差異。
• 極端值對平均與中位數的影響，以及為何在某些情境下中位數更具代表性。
• 標準差在量測誤差描述中的意義，以及用簡單直方圖看資料分布。
• 樣本與母體的區分，及其在變異數定義上的差別（$n$ vs $n-1$）。

這些都是日後學習統計、機器學習與資料科學的重要基礎。

15.12 練習題

請在本 Notebook 中新增儲存格，試著完成以下練習：

1. 基本平均與中位數
   (a) 對資料 [10, 12, 13, 15, 20] 計算算術平均數與中位數。
   (b) 再加入一個極端值 100，變成 [10, 12, 13, 15, 20, 100]，重新計算。
   (c) 比較兩種情況下平均數與中位數的變化，寫下你的觀察。

2. 樣本標準差計算
   (a) 寫一個函數 sample_variance(data)，回傳樣本變異數（分母 $n-1$）。
   (b) 寫一個函數 sample_std(data)，回傳樣本標準差。
   (c) 用這兩個函數計算第 15.6 節 A 組與 B 組成績的變異數與標準差。

3. 兩組資料的比較
   有兩家公司的年終獎金資料（單位：萬元）：

   • 甲公司：[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]
   • 乙公司：[0, 0, 0, 0, 0, 4, 4, 4]
     (a) 計算兩家公司的平均數、中位數與標準差。
     (b) 從「公平性」與「風險」角度，討論你更想在哪一家公司領年終（沒有標準答案）。

4. 量測資料與直方圖
   (a) 用 random.normalvariate(μ, σ) 產生 100 筆近似常態的模擬溫度資料（例如 μ=25, σ=0.2）。
   (b) 計算這 100 筆資料的平均數與標準差。
   (c) 畫出直方圖，觀察資料大致集中在哪個範圍。
   (d) 試著增加到 1000 筆資料，觀察直方圖是否更接近「鐘形曲線」。

5. 母體 vs 樣本的差異（實驗觀察）
   (a) 先建立一個「母體」：例如用 Python 產生 10000 個均勻分布在 [0,1] 的數字。
   (b) 從這個母體中隨機抽 50 個樣本，計算樣本平均與樣本標準差。
   (c) 重複抽樣 50 次，記錄每一次的樣本平均與樣本標準差。
   (d) 用簡單圖或摘要數字，觀察樣本統計量如何圍繞著「母體」的真實平均與變異數。

6. 加分題：Z 分數（標準化）
   對於資料中的每一個 $x$，定義 Z 分數：
   $$z = \frac{x - \bar{x}}{s}.$$
   (a) 寫一個函數 z_scores(data)，回傳每筆資料的 Z 分數。
   (b) 對第 15.8 節的溫度資料計算 Z 分數，觀察哪些測量值偏離平均較多。
   (c) 思考：若某測量值的 |z| 很大（例如大於 3），你會懷疑什麼？

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