第 11 章　不定積分與定積分¶

本章重點：

  • 從「面積」與「累積量」的角度理解積分。
  • 認識不定積分（反導數）與定積分，及兩者的關係。
  • 使用 SymPy 計算基本不定積分與定積分。
  • 了解積分與導數之間的「微積分基本定理」。
  • 用定積分處理面積、路程、總成本等應用問題的基本模型。

本章不是要把所有積分技巧一網打盡，而是希望用 Python / SymPy 幫你建立直觀： 什麼情況會想到用積分？積分結果代表什麼量？

11.1 從面積到積分的直觀¶

先回想國中、高中學過的簡單面積：

  • 長方形：$A = 長 \times 寬$。
  • 三角形：$A = \dfrac{1}{2} 底 \times 高$。

若我們想求某條曲線 $y = f(x)$ 與 $x$ 軸之間，從 $x=a$ 到 $x=b$ 的面積， 可以將區間 $[a,b]$ 切成許多小段，每小段用長方形近似，再把所有面積加總。

當切得越來越細，這種「近似和」會漸漸收斂到一個極限， 這個極限就是定積分：

$$\int_a^b f(x)\,dx.$$

在 SymPy 中，我們不需要手算這些和，而是直接使用 integrate 幫我們算出極限值， 但背後的想法就是「無限多個極小長方形的面積和」。

11.2 不定積分：反導數¶

導數告訴我們：給定 $F(x)$，可以算出 $F'(x)$。 「不定積分」則是反過來的問題：

已知 $f(x)$，找一個 $F(x)$ 使得 $F'(x) = f(x)$。

此時我們寫成：

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C,$$

其中 $C$ 是任意常數，稱為積分常數。

例：若 $f(x) = 2x$，則其中一個原函數是 $F(x) = x^2$， 但 $x^2 + 1$ 或 $x^2 - 3$ 的導數也是 $2x$， 因此所有原函數可以寫成 $x^2 + C$。

11.3 使用 SymPy 計算不定積分：integrate¶

SymPy 提供 integrate 進行符號積分。

例：計算 $\int 2x\,dx$。

In [1]:
import sympy as sp
sp.init_printing()

x = sp.symbols('x', real=True)
expr = 2*x
F = sp.integrate(expr, x)
expr, F
Out[1]:
$\displaystyle \left( 2 x, \ x^{2}\right)$

再試幾個常見例子：

  • $\int x^2\,dx$
  • $\int \sin x\,dx$
  • $\int e^x\,dx$
  • $\int \dfrac{1}{x}\,dx$（$x>0$ 時是 $\ln x$）
In [2]:
examples = [x**2, sp.sin(x), sp.exp(x), 1/x]
[sp.integrate(f, x) for f in examples]
Out[2]:
$\displaystyle \left[ \frac{x^{3}}{3}, \ - \cos{\left(x \right)}, \ e^{x}, \ \log{\left(x \right)}\right]$

11.4 基本不定積分公式（反導數對照表）¶

由導數公式反向整理，可以得到一些基本的不定積分：

  1. $\displaystyle \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \ne -1$）
  2. $\displaystyle \int \cos x\,dx = \sin x + C$
  3. $\displaystyle \int \sin x\,dx = -\cos x + C$
  4. $\displaystyle \int e^x\,dx = e^x + C$
  5. $\displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$（$x \ne 0$）

在 SymPy 中，我們可以利用 diff 檢查積分結果是否正確：將結果微分，應該回到原函數。

In [3]:
test_expr = sp.sin(x)
F = sp.integrate(test_expr, x)
sp.simplify(sp.diff(F, x)), test_expr
Out[3]:
$\displaystyle \left( \sin{\left(x \right)}, \ \sin{\left(x \right)}\right)$

11.5 定積分：帶上下限的積分¶

定積分 $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx$ 可以直觀地理解為：

  • 曲線 $y=f(x)$ 與 $x$ 軸之間、從 $x=a$ 到 $x=b$ 之「有符號」面積。

若 $f(x) \ge 0$，則定積分就是一般的面積； 若 $f(x)$ 在部分區間為負，則定積分會把那部分視為「負面積」。

SymPy 的 integrate 若多指定區間，就會計算定積分。

In [4]:
expr = x
I = sp.integrate(expr, (x, 0, 3))  # ∫_0^3 x dx
expr, I
Out[4]:
$\displaystyle \left( x, \ \frac{9}{2}\right)$

從幾何角度來看，$y=x$ 與 $x$ 軸、$x=0$ 與 $x=3$ 圍成一個三角形， 面積應為 $\dfrac{1}{2}\cdot 底(=3) \cdot 高(=3) = 9/2$， 與定積分結果一致。

11.6 微積分基本定理（直觀版）¶

微積分基本定理 告訴我們導數與定積分之間有深刻的關係：

若 $F'(x) = f(x)$，則：

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a).$$

也就是：

  1. 先找到 $f(x)$ 的反導數（原函數） $F(x)$。
  2. 再把上限 $b$ 與下限 $a$ 代入，做差。

這就是我們在做定積分時常用的「先積分、再代上下限」的理論基礎。

例：計算 $\displaystyle \int_0^1 2x\,dx$。

  1. 先求不定積分：$\int 2x\,dx = x^2 + C$。
  2. 套用基本定理：$\int_0^1 2x\,dx = [x^2]_0^1 = 1^2 - 0^2 = 1$。

用 SymPy 驗證：

In [5]:
expr = 2*x
I = sp.integrate(expr, (x, 0, 1))
I
Out[5]:
$\displaystyle 1$

11.7 常見定積分例子¶

  1. $\displaystyle \int_0^\pi \sin x\,dx$
  2. $\displaystyle \int_1^e \frac{1}{x}\,dx$
  3. $\displaystyle \int_0^1 (x^2 + 1)\,dx$
In [6]:
expr1 = sp.sin(x)
expr2 = 1/x
expr3 = x**2 + 1

I1 = sp.integrate(expr1, (x, 0, sp.pi))
I2 = sp.integrate(expr2, (x, 1, sp.E))
I3 = sp.integrate(expr3, (x, 0, 1))
I1, I2, I3
Out[6]:
$\displaystyle \left( 2, \ 1, \ \frac{4}{3}\right)$

從幾何與解析角度：

  • $\int_0^\pi \sin x\,dx = 2$：對應到半個「正弦波鼓起來」的面積。
  • $\int_1^e \dfrac{1}{x}\,dx = 1$：對應到自然對數的定義性質之一。
  • $\int_0^1 (x^2 + 1)\,dx$ 可拆成 $\int_0^1 x^2 dx + \int_0^1 1 dx$。

11.8 用圖形輔助理解定積分（概念說明）¶

在 Jupyter Notebook 中，可以搭配繪圖工具把「曲線下的面積」畫出來， 加深對定積分作為面積／累積量的直觀。

純用 SymPy 的 plot 雖然不直接填色，但仍可視覺化 integrand 的形狀。
若想要更漂亮的塗色，可以搭配 matplotlib 自行處理（這超出本書主線，只作提示）。

下面範例僅畫出函數，以 $y=x^2$ 在 $[0,1]$ 為例：

In [7]:
sp.plot(x**2, (x, 0, 1), title='The graph of y = x^2 on the interval [0,1]')
No description has been provided for this image
Out[7]:
<sympy.plotting.backends.matplotlibbackend.matplotlib.MatplotlibBackend at 0x7f56f1f79fd0>

11.9 不定積分的基本技巧示意：拆解與代換（簡單版）¶

實務上處理積分時，常用兩個基本想法：

  1. 線性性質：

    $\displaystyle \int (af(x) + bg(x))\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$。

  2. 代換（u-substitution）直觀：

    當 integrand 中出現某個組合 $g(x)$ 及其導數 $g'(x)$ 時， 可以嘗試令 $u = g(x)$，將積分轉換成對 $u$ 的積分。

例：$\displaystyle \int 2x(x^2+1)^3\,dx$，令 $u = x^2+1$，則 $du = 2x\,dx$。

在 SymPy 中，我們通常不需要顯式做這個代換，integrate 會自動完成：

In [8]:
expr = 2*x*(x**2 + 1)**3
F = sp.integrate(expr, x)
F
Out[8]:
$\displaystyle \frac{x^{8}}{4} + x^{6} + \frac{3 x^{4}}{2} + x^{2}$

可以再微分一次檢查：

In [9]:
sp.simplify(sp.diff(F, x) - expr)
Out[9]:
$\displaystyle 0$

11.10 啟發性例子一：速度函數的積分給出位移¶

在物理中，如果已知速度函數 $v(t)$， 那麼在時間 $[t_1, t_2]$ 之間的位移可以寫成定積分：

$$\text{位移} = \int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt.$$

例：$v(t) = 3t^2$，求從 $t=0$ 到 $t=2$ 的位移。

In [10]:
t = sp.symbols('t', real=True)
v = 3*t**2
displacement = sp.integrate(v, (t, 0, 2))
v, displacement
Out[10]:
$\displaystyle \left( 3 t^{2}, \ 8\right)$

結果為 $\int_0^2 3t^2 dt = [t^3]_0^2 = 8$。

你可以想像速度是「每秒增加多少距離」，把這些小距離累積起來就是位移。

11.11 啟發性例子二：總成本與邊際成本的積分¶

若 $C(q)$ 是總成本函數，則 $C'(q)$ 是邊際成本，表示在產量附近微小變化時的成本變動率。

反過來說，若已知邊際成本函數 $MC(q)$，則總成本可以藉由積分「累積」出來：

$$C(q) = C(q_0) + \int_{q_0}^{q} MC(x)\,dx.$$

例：假設邊際成本為 $MC(q) = 5 + 0.2q$，且當產量為 0 時固定成本為 1000， 求產量為 $q$ 時的總成本。

In [11]:
q = sp.symbols('q', real=True)
MC = 5 + 0.2*q
C_q = 1000 + sp.integrate(MC, (q, 0, q))
sp.simplify(C_q)
Out[11]:
$\displaystyle 0.1 q^{2} + 5.0 q + 1000$

這說明了：

  • 導數可以被解讀為「瞬間變化率」。
  • 積分則可以把變化率「累積」回原本的量。

11.12 啟發性例子三：機率密度函數與面積為 1¶

在機率論中，連續型隨機變數 $X$ 常用機率密度函數（pdf） $f(x)$ 描述， 其性質之一是：

  • $f(x) \ge 0$ 對所有 $x$。
  • $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1$。

例如簡化例子，令：

$f(x) = \begin{cases} 2x, & 0 \le x \le 1 \\ 0, & 其他 \end{cases}$。

我們檢查 $\int_0^1 2x\,dx$ 是否為 1：

In [12]:
x = sp.symbols('x', real=True)
f = 2*x
I = sp.integrate(f, (x, 0, 1))
I
Out[12]:
$\displaystyle 1$

結果為 1，符合機率密度函數的要求。

某區間（例如 $[0.5, 1]$）的機率，就對應到該區間下的「面積」：

$$P(0.5 \le X \le 1) = \int_{0.5}^{1} 2x\,dx.$$

用 SymPy 計算看看：

In [13]:
P = sp.integrate(f, (x, 0.5, 1))
P
Out[13]:
$\displaystyle 0.75$

這個例子顯示：定積分不只代表幾何面積，也可代表「累積機率」。

11.13 本章小結¶

本章你學到了：

  • 不定積分（反導數）的概念，與導數之間的對偶關係。
  • 使用 SymPy 的 integrate 計算常見函數的不定積分與定積分。
  • 微積分基本定理：定積分可以透過原函數 $F(b)-F(a)$ 來計算。
  • 如何從圖形與應用角度理解定積分：曲線下的面積、累積量。
  • 積分在物理（速度→位移）、經濟（邊際成本→總成本）、 機率（密度→機率）等領域中的基本應用。

11.14 練習題¶

請在本 Notebook 中新增儲存格，試著完成以下練習：

  1. 基本不定積分
    使用 SymPy 計算並簡化：
    (a) $\displaystyle \int (3x^2 - 4x + 1)\,dx$
    (b) $\displaystyle \int (\cos x + 2\sin x)\,dx$
    (c) $\displaystyle \int (e^x + \dfrac{1}{x})\,dx$（注意 $\ln|x|$）。

  2. 檢查反導數
    對上一題所得的不定積分結果，使用 diff 對 $x$ 微分， 確認可以回到原 integrand（可能差一個常數）。

  3. 簡單定積分
    使用 SymPy 計算：
    (a) $\displaystyle \int_0^2 x\,dx$
    (b) $\displaystyle \int_0^1 (2x+1)\,dx$
    (c) $\displaystyle \int_0^{\pi} \sin x\,dx$，並嘗試從圖形解釋為什麼結果為 2。

  4. 利用原函數計算定積分
    不使用 SymPy 的定積分功能，而是：
    (a) 先用 integrate(f, x) 找出原函數 $F(x)$。
    (b) 再手動計算 $F(b)-F(a)$。
    以 $f(x) = 3x^2$，$[a,b] = [1,3]$ 為例，檢查是否得到相同的結果。

  5. 應用題：速度與位移
    假設某物體速度為 $v(t) = 4t + 1$，單位為 m/s。
    (a) 求從 $t=0$ 到 $t=3$ 的位移（當作速度只在這段時間定義）。
    (b) 若起始位置為 0，寫出位置函數 $s(t)$（可用不定積分 + 初始條件）。
    (c) 檢查 $s(3) - s(0)$ 是否與定積分結果一致。

  6. 應用題：邊際成本與總成本
    某產品的邊際成本為 $MC(q) = 10 + 0.5q$（每增加一單位的額外成本）。
    (a) 假設固定成本為 800，求總成本函數 $C(q)$。
    (b) 計算生產 20 單位時的總成本。
    (c) 計算從 20 單位增加到 21 單位時成本大約增加多少（可用邊際成本或直接算 $C(21)-C(20)$ 比較）。

  7. 加分題：機率密度函數的驗證
    令 $f(x) = \begin{cases} 3x^2, & 0 \le x \le 1 \\ 0, & 其他 \end{cases}$。
    (a) 使用定積分檢查 $\int_0^1 3x^2 dx$ 是否等於 1。
    (b) 計算 $P(0.5 \le X \le 1) = \int_{0.5}^1 3x^2 dx$。
    (c) 嘗試解釋：為什麼「面積」可以代表機率？此模型可能對應到哪種現實情境？

回首頁