第 10 章　導數與微分

本章重點：

• 從「瞬間變化率」與「切線斜率」的角度理解導數。
• 使用極限定義導數，並用 SymPy 驗證與計算。
• 學習基本微分法則：常數倍、和差、乘法、商法則、鏈鎖律（鏈式法則）。
• 會求常見函數的導數：多項式、三角函數、指數與對數函數等。
• 使用導數分析函數的單調性、極大極小值與圖形形狀。
• 透過幾個應用例子，連結到物理（速度、加速度）、經濟（邊際成本）等情境。

本章是微積分的核心之一。我們會一邊用幾何直觀與生活語言說明，一邊用 SymPy 實際運算與驗證。

10.1 導數的直觀：從平均速度到瞬間速度

回顧第 9 章的例子：

• 若物體位置為 $s(t)$，在時間區間 $[t, t+h]$ 的平均速度為

$$v_{avg} = \frac{s(t+h) - s(t)}{h}.$$

當 $h \to 0$ 時，若極限存在，即稱為瞬間速度：

$$v(t) = \lim_{h\to 0} \frac{s(t+h) - s(t)}{h}.$$

這個極限就是導數：

$$s'(t) = \lim_{h\to 0} \frac{s(t+h) - s(t)}{h}.$$

例如 $s(t) = t^2$，我們先用 SymPy 再算一次這個極限：

import sympy as sp
sp.init_printing()

t, h = sp.symbols('t h', real=True)
s = t**2
diff_quot = (s.subs(t, t+h) - s)/h
simplified = sp.simplify(diff_quot)
limit_h0 = sp.limit(diff_quot, h, 0)
simplified, limit_h0

$\displaystyle \left( h + 2 t, \ 2 t\right)$

這裡結果是：

• 差商化簡後為 $2t + h$。
• 當 $h \to 0$ 時，極限為 $2t$。

我們就說：$s'(t) = 2t$。

10.2 導數的定義與記號

一般函數 $y = f(x)$ 在 $x=a$ 的導數定義為：

$$f'(a) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h},$$

如果極限存在。

常見的導數記號包括：

• $f'(x)$
• $y'$
• $\dfrac{dy}{dx}$（強調 $y$ 與 $x$ 之間的關係）
• $\dfrac{df}{dx}$

幾何上，$f'(a)$ 就是曲線 $y=f(x)$ 在點 $(a, f(a))$ 的切線斜率。

10.3 使用 SymPy 計算導數：diff

SymPy 使用 diff 來做微分。

例：$f(x) = x^2$，求 $f'(x)$：

x = sp.symbols('x', real=True)
f = x**2
f_prime = sp.diff(f, x)
f, f_prime

$\displaystyle \left( x^{2}, \ 2 x\right)$

再試一些基本例子：

• $g(x) = 3x^3 - 5x + 2$
• $h(x) = \sin x$
• $k(x) = e^x$
• $m(x) = \ln x$（定義域 $x>0$）

g = 3*x**3 - 5*x + 2
h = sp.sin(x)
k = sp.exp(x)
m = sp.log(x)

g_prime = sp.diff(g, x)
h_prime = sp.diff(h, x)
k_prime = sp.diff(k, x)
m_prime = sp.diff(m, x)

g_prime, h_prime, k_prime, m_prime

$\displaystyle \left( 9 x^{2} - 5, \ \cos{\left(x \right)}, \ e^{x}, \ \frac{1}{x}\right)$

10.4 基本微分法則

從上述例子，我們可以歸納出一些規則：

1. 常數的導數為 0：$\dfrac{d}{dx} C = 0$。
2. $x^n$ 的導數為：$\dfrac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}$（多項式規則）。
3. 線性：$\dfrac{d}{dx}(af(x) + bg(x)) = a f'(x) + b g'(x)$。
4. 三角函數：$\dfrac{d}{dx} \sin x = \cos x$, $\dfrac{d}{dx} \cos x = -\sin x$。
5. 指數與對數：$\dfrac{d}{dx} e^x = e^x$, $\dfrac{d}{dx} \ln x = \dfrac{1}{x}$（$x>0$）。

在 SymPy 裡面，這些規則已內建，我們可以利用 diff 直接計算與驗證。

10.5 乘法與商法則

若 $y = u(x) \cdot v(x)$，則導數為：

乘法法則（積的微分）：

$$\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).$$

若 $y = \dfrac{u(x)}{v(x)}$，則：

商法則：

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right] = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}.$$

用一個例子來看看：

$f(x) = (x^2+1)(x-3)$。

u = x**2 + 1
v = x - 3
f = u*v
f_prime = sp.diff(f, x)
sp.expand(f), sp.expand(f_prime)

$\displaystyle \left( x^{3} - 3 x^{2} + x - 3, \ 3 x^{2} - 6 x + 1\right)$

你可以手動用乘法法則計算一次，檢查是否與 SymPy 結果一致。

再看商法則例子：$g(x) = \dfrac{x^2+1}{x-1}$。

g = (x**2 + 1)/(x - 1)
g_prime = sp.diff(g, x)
sp.simplify(g_prime)

$\displaystyle \frac{- x^{2} + 2 x \left(x - 1\right) - 1}{\left(x - 1\right)^{2}}$

10.6 鏈式法則（鏈鎖律）：複合函數的導數

如果 $y = f(g(x))$ 是兩個函數的複合，導數的規則是：

$$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x).$$

這稱為鏈式法則。它在實務中非常常用，尤其是處理指數、對數、三角函數的組合時。

例：$y = (3x^2 - 1)^5$。

• 內層：$g(x) = 3x^2 - 1$。
• 外層：$f(u) = u^5$。

則 $y' = 5(3x^2 - 1)^4 \cdot 6x = 30x(3x^2 - 1)^4$。

用 SymPy 驗證：

y_expr = (3*x**2 - 1)**5
y_prime = sp.diff(y_expr, x)
sp.simplify(y_prime)

$\displaystyle 30 x \left(3 x^{2} - 1\right)^{4}$

再看一個包含三角函數的例子：$y = \sin(x^2)$。

y2 = sp.sin(x**2)
y2_prime = sp.diff(y2, x)
sp.simplify(y2_prime)

$\displaystyle 2 x \cos{\left(x^{2} \right)}$

這裡可以解讀為：

• 外層：$f(u) = \sin u$，$f'(u) = \cos u$。
• 內層：$g(x) = x^2$，$g'(x) = 2x$。
• 因此：$\dfrac{d}{dx} \sin(x^2) = \cos(x^2) \cdot 2x$。

10.7 高階導數與符號微分

導數本身也是一個函數，可以再對它求導，得到二階導數 $f''(x)$。

類似地可以定義三階、四階導數，甚至第 $n$ 階導數。

在 SymPy 中，可以使用 sp.diff(f, x, n) 計算第 $n$ 階導數。

例：$f(x) = x^3$。

f = x**3
f1 = sp.diff(f, x, 1)  # 一階導數
f2 = sp.diff(f, x, 2)  # 二階導數
f3 = sp.diff(f, x, 3)  # 三階導數
f1, f2, f3

$\displaystyle \left( 3 x^{2}, \ 6 x, \ 6\right)$

在物理中：

• 位置 $s(t)$ 的一階導數是速度 $v(t)$。
• 二階導數則是加速度 $a(t)$。

高階導數能描述更微妙的變化率。

10.8 導數與切線：切線方程

已知曲線 $y = f(x)$ ，若在 $x=a$ 處導數為 $f'(a)$， 則該點切線方程為：

$$y - f(a) = f'(a)(x-a).$$

例：$f(x) = x^2$，在 $x=1$ 處的切線。

x = sp.symbols('x', real=True)
f = x**2
a = 1

f_prime = sp.diff(f, x)
slope = f_prime.subs(x, a)
point = f.subs(x, a)

tangent = slope*(x-a) + point
f_prime, slope, point, tangent

$\displaystyle \left( 2 x, \ 2, \ 1, \ 2 x - 1\right)$

我們可以畫出 $y=x^2$ 與該切線：

sp.plot(f, tangent, (x, -1, 3), legend=True,
        title='The tangent line of y = x^2 at x=1')

<sympy.plotting.backends.matplotlibbackend.matplotlib.MatplotlibBackend at 0x7f1fbc3c0590>

你可以自行把 $a$ 換成其他值（例如 0, 2, -1），觀察切線如何變化。

10.9 利用導數分析函數：單調性與極大極小值

若 $f'(x) > 0$ 在某區間內成立，代表 $f$ 在該區間遞增； 若 $f'(x) < 0$，則 $f$ 在該區間遞減。

若在某點 $c$ 附近：

• $f'$ 由正變負，$f$ 可能在 $c$ 取得局部極大值。
• $f'$ 由負變正，$f$ 可能在 $c$ 取得局部極小值。

例：$f(x) = x^3 - 3x$。

x = sp.symbols('x', real=True)
f = x**3 - 3*x
f_prime = sp.diff(f, x)
critical_points = sp.solve(sp.Eq(f_prime, 0), x)
f, f_prime, critical_points

$\displaystyle \left( x^{3} - 3 x, \ 3 x^{2} - 3, \ \left[ -1, \ 1\right]\right)$

計算這些臨界點的函數值：

for c in critical_points:
    print("x =", c, ", f(x) =", f.subs(x, c))

x = -1 , f(x) = 2
x = 1 , f(x) = -2

可以再畫圖來觀察：

sp.plot(f, (x, -3, 3), title='f(x) = x^3 - 3x')

<sympy.plotting.backends.matplotlibbackend.matplotlib.MatplotlibBackend at 0x7f1f8e413890>

從圖與符號計算中，可以看出：

• 在某點附近，圖形有「山峰」或「谷底」，對應到極大／極小值。
• 導數為 0 的點是重要線索。

10.10 啟發性例子一：物理中的速度與加速度

假設物體的位置為：

$s(t) = 5t^2 + 2t$（單位：公尺，時間 $t$ 單位為秒）。

則：

• 速度：$v(t) = s'(t)$。
• 加速度：$a(t) = v'(t) = s''(t)$。

利用 SymPy 計算：

t = sp.symbols('t', real=True)
s = 5*t**2 + 2*t
v = sp.diff(s, t)
a = sp.diff(v, t)
s, v, a

$\displaystyle \left( 5 t^{2} + 2 t, \ 10 t + 2, \ 10\right)$

我們得到：

• $v(t) = 10t + 2$。
• $a(t) = 10$（常數加速度）。

你可以代入 $t=0,1,2,...$ 等值，觀察速度如何增加。

10.11 啟發性例子二：成本函數與邊際成本

在經濟學中，成本函數 $C(q)$ 給出產量 $q$ 時的總成本。

$C'(q)$ 稱為邊際成本（marginal cost），代表「多生產一點點所增加的成本」的近似。

例：假設成本函數為：

$C(q) = 1000 + 5q + 0.1q^2$。

用 SymPy 計算 $C'(q)$：

q = sp.symbols('q', real=True)
C = 1000 + 5*q + 0.1*q**2
MC = sp.diff(C, q)
C, MC

$\displaystyle \left( 0.1 q^{2} + 5 q + 1000, \ 0.2 q + 5\right)$

假設目前產量為 $q=10$，邊際成本為：

MC_10 = MC.subs(q, 10)
MC_10

$\displaystyle 7.0$

這大致代表將產量從 10 增加到 11 時，成本大約增加多少（在變化不大的情況下）。 導數在這裡幫助我們把「小變動」與「近似線性變化」連結起來。

10.12 啟發性例子三：圖形平滑程度與二階導數

二階導數 $f''(x)$ 可以幫助我們了解圖形的「彎曲」情況：

• 若 $f''(x) > 0$，圖形「向上凹」（像笑臉）。
• 若 $f''(x) < 0$，圖形「向下凹」（像哭臉）。

例：$f(x) = x^4 - 4x^2$。

x = sp.symbols('x', real=True)
f = x**4 - 4*x**2
f_prime = sp.diff(f, x)
f_second = sp.diff(f_prime, x)
f, f_prime, f_second

$\displaystyle \left( x^{4} - 4 x^{2}, \ 4 x^{3} - 8 x, \ 12 x^{2} - 8\right)$

畫出圖形觀察：

sp.plot(f, (x, -3, 3), title='f(x) = x^4 - 4x^2')

<sympy.plotting.backends.matplotlibbackend.matplotlib.MatplotlibBackend at 0x7f1f8e1ac190>

你可以：

• 解 $f'(x) = 0$ 找可能的極大／極小點。
• 再看這些點附近的 $f''(x)$ 是正還是負。

這個思考方式在曲線描繪與最佳化問題中非常重要。

10.13 本章小結

本章你學到了：

• 導數的極限定義，與其在物理上作為「瞬間速度」、在幾何上作為「切線斜率」的意義。
• 使用 SymPy 的 diff 計算各種函數的導數，包含高階導數。
• 基本微分法則：常數、冪次、多項式、三角函數、指數與對數函數。
• 乘法法則、商法則及鏈式法則，處理較複雜的函數組合。
• 利用導數分析函數的單調性與極大極小值，並寫出切線方程。
• 在物理（速度／加速度）、經濟（邊際成本）、圖形彎曲程度分析等情境中應用導數。

10.14 練習題

請在本 Notebook 中新增儲存格，試著完成以下練習：

1. 從定義計算導數（簡單例子）
   令 $f(x) = x^2$。
   (a) 用極限定義 $f'(a) = \lim_{h\to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 手算一次。
   (b) 用 SymPy 實作差商並對 $h \to 0$ 取極限，確認結果為 $2a$。

2. 基本導數計算
   使用 SymPy 求下列函數的導數，並盡量手算一次對照：
   (a) $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 7$
   (b) $g(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$（提示：用冪次規則）
   (c) $h(x) = \dfrac{1}{x} = x^{-1}$。

3. 乘法與商法則
   (a) $f(x) = (x^2+1)\sin x$，利用乘法法則求 $f'(x)$。
   (b) $g(x) = \dfrac{x^2+1}{x}$，利用商法則求 $g'(x)$，並用 SymPy 驗證。

4. 鏈式法則練習
   使用鏈式法則與 SymPy 計算：
   (a) $y = (2x+3)^5$
   (b) $y = \ln(3x^2+1)$
   (c) $y = e^{-x^2}$。

5. 切線方程
   令 $f(x) = x^3$。
   (a) 求在 $x=1$ 處的導數 $f'(1)$。
   (b) 寫出該點的切線方程。
   (c) 用 SymPy 畫出 $f(x)$ 與切線，觀察圖形。

6. 極值與單調性
   令 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$。
   (a) 求 $f'(x)$，解出 $f'(x) = 0$ 的臨界點。
   (b) 判斷這些點是局部極大值、局部極小值或其他。
   (c) 用 SymPy 繪圖，從圖形驗證你的判斷。

7. 應用與加分題：物理或經濟情境
   (a) 自己設計一個位置函數 $s(t)$（例如 $s(t) = t^3 - 3t^2 + t$），求出速度與加速度，並用文字解釋物體的運動特性。
   (b) 自己設計一個成本函數 $C(q)$，例如 $C(q) = 500 + 8q + 0.05q^2$，求出邊際成本 $C'(q)$，並解釋在某個產量附近（自選 $q$ 值）多生產一單位大約會增加多少成本。

回首頁